В треугольнике ABC известно, что AC = BC, AB = 18, $$tg A = \frac{2\sqrt{22}}{9}$$. Найдите длину стороны AC.

Треугольник ABC – равнобедренный, так как AC = BC. Значит, углы при основании AB равны, то есть угол A равен углу B. Нам дан тангенс угла A. Опустим высоту CH из вершины C на основание AB. В равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, поэтому AH = HB = AB/2 = 18/2 = 9. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. В нем $$tg A = \frac{CH}{AH}$$. Отсюда можно найти длину CH: $$CH = AH \cdot tg A = 9 \cdot \frac{2\sqrt{22}}{9} = 2\sqrt{22}$$. Теперь, когда известны AH и CH, можно найти AC по теореме Пифагора: $$AC^2 = AH^2 + CH^2 = 9^2 + (2\sqrt{22})^2 = 81 + 4 \cdot 22 = 81 + 88 = 169$$. $$AC = \sqrt{169} = 13$$. Ответ: 13