В треугольнике ABC известно, что AB = BC, медиана BM равна 2. Площадь треугольника ABC равна $$12\sqrt{7}$$. Найдите длину стороны AB.

Дано: треугольник ABC, AB = BC, BM - медиана, BM = 2, $$S_{ABC} = 12\sqrt{7}$$. Найти: AB. Решение: 1. Обозначим AM = MC = x. Тогда AC = 2x. 2. Воспользуемся формулой Герона для площади треугольника ABC: $$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$, где p - полупериметр, a, b, c - стороны треугольника. 3. В нашем случае a = AB, b = BC, c = AC. Так как AB = BC, обозначим AB = BC = y. Тогда полупериметр $$p = \frac{y + y + 2x}{2} = y + x$$. 4. Подставляем в формулу Герона: $$12\sqrt{7} = \sqrt{(y+x)(y+x-y)(y+x-y)(y+x-2x)} = \sqrt{(y+x)(x)(x)(y-x)} = \sqrt{x^2(y^2-x^2)} = x\sqrt{y^2-x^2}$$. 5. Возводим обе части в квадрат: $$144 \cdot 7 = x^2(y^2 - x^2)$$ $$1008 = x^2(y^2 - x^2)$$. (1) 6. Так как BM - медиана, в равнобедренном треугольнике она является и высотой. Тогда треугольник ABM - прямоугольный, и по теореме Пифагора: $$AB^2 = AM^2 + BM^2$$ $$y^2 = x^2 + 2^2$$ $$y^2 = x^2 + 4$$ (2) 7. Подставим (2) в (1): $$1008 = x^2(x^2 + 4 - x^2) = x^2 \cdot 4$$ 8. $$x^2 = \frac{1008}{4} = 252$$ $$x = \sqrt{252} = \sqrt{36 \cdot 7} = 6\sqrt{7}$$. 9. Теперь найдем y из (2): $$y^2 = (6\sqrt{7})^2 + 4 = 36 \cdot 7 + 4 = 252 + 4 = 256$$ $$y = \sqrt{256} = 16$$. 10. Таким образом, AB = y = 16. Ответ: **16**.