11. В треугольнике ABC AC = BC = 27 AH – высота, sin BAC = \frac{2}{3} Найдите BH.

Ответ: 18

1. В треугольнике ABC, так как AC = BC, треугольник равнобедренный.
2. Пусть AH - высота, тогда треугольник ABH прямоугольный.
3. Дано: sin BAC = 2/3.
4. Найдем AH:Так как AC = 27 AH, то AH = AC / 27 = 27 / 27 = 1.
5. В треугольнике ABH:sin BAC = BH / ABТогда BH = AB sin BAC
6. Выразим AH через косинус:cos BAC = AH / AC = \(\sqrt{1 - sin^2}\) BAC =\( \sqrt{1 - (2/3)^2}\) = \( \sqrt{1 - 4/9}\) = \(\sqrt{5/9}\) = \(\frac{\sqrt{5}}{3}\)
7. В прямоугольном треугольнике AНВ:АС = ВС = 27. АН - высота. Сos А =\( \frac{\sqrt{5}}{3}\) sin А =\( \frac{2}{3}\)АH = AC \(\cdot\) Сos AAH = 27 \(\cdot\) Сos A = 27 \(\cdot\) \(\frac{\sqrt{5}}{3}\) = 9\(\sqrt{5}\)Тогда BH = AC \(\cdot\) Sin A = 27 \(\cdot\) \(\frac{2}{3}\) = 18

Ответ: 18