В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен 90°, \(CH\) — высота, \(AB = 45\), \(\sin A = \frac{2}{3}\). Найдите длину отрезка \(BH\).

В прямоугольном треугольнике \(ABC\) синус угла \(A\) равен отношению противолежащего катета \(BC\) к гипотенузе \(AB\):

\[\sin A = \frac{BC}{AB}\]

Отсюда найдем \(BC\):

\[BC = AB \cdot \sin A = 45 \cdot \frac{2}{3} = 30\]

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(BCH\). В нем \(\angle CHB = 90^\circ\). Cos угла \(B\) равен отношению прилежащего катета \(BH\) к гипотенузе \(BC\):

\[\cos B = \frac{BH}{BC}\]

Чтобы найти \(\cos A\), используем основное тригонометрическое тождество:

\[\sin^2 A + \cos^2 A = 1\]

Отсюда:

\[\cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}\] \[\cos A = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}\]

Так как \(\angle A + \angle B = 90^\circ\), то \(\cos A = \sin B\).

\[\sin B = \frac{\sqrt{5}}{3}\]

Теперь найдем \(BH\):

\[BH = BC \cdot \cos B\]

Но нам нужен \(\cos B\). Так как \(\sin A = \cos B\), то \(\cos B = \frac{2}{3}\)

\[BH = 30 \cdot \left(1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2\right) = 30 \cdot \frac{5}{9} = \frac{50}{3} = 16\frac{2}{3}\]

Или, можно сразу:

\[BH = BC \cdot \cos B = 30 \cdot \sqrt{1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2} = 30 \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} = 10\sqrt{5}\]

Ответ: \(10\sqrt{5}\)