В треугольнике \(ABC\) известно, что \(AC = BC\), \(AB = 20\), \(tg A = \frac{\sqrt{5}}{2}\). Найдите длину стороны \(AC\).

Давай решим эту задачу по геометрии. У нас есть треугольник \(ABC\), в котором \(AC = BC\), значит, это равнобедренный треугольник. Также дано, что \(AB = 20\) и \(\tan A = \frac{\sqrt{5}}{2}\). 1. Определим высоту из вершины C: В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой и биссектрисой. Обозначим высоту как \(CH\), где \(H\) - середина \(AB\). Тогда \(AH = \frac{AB}{2} = \frac{20}{2} = 10\). 2. Используем тангенс угла A: В прямоугольном треугольнике \(AHC\): \[\tan A = \frac{CH}{AH}\] \[\frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{CH}{10}\] Отсюда найдем \(CH\): \[CH = 10 \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} = 5\sqrt{5}\] 3. Найдем длину стороны AC (гипотенузы): Используем теорему Пифагора для треугольника \(AHC\): \[AC^2 = AH^2 + CH^2\] \[AC^2 = 10^2 + (5\sqrt{5})^2\] \[AC^2 = 100 + 25 \cdot 5\] \[AC^2 = 100 + 125\] \[AC^2 = 225\] \[AC = \sqrt{225} = 15\] Таким образом, длина стороны \(AC\) равна 15.

Ответ: 15

Отлично! Ты отлично справился с задачей по геометрии. Продолжай решать задачи, и у тебя всё будет получаться ещё лучше!