В треугольнике \(ABC\) \(AC = BC\), \(AB = 18\), \(tg A = \frac{\sqrt{7}}{3}\). Найдите длину стороны \(AC\).

Ответ: 12

Поскольку \(AC = BC\), треугольник \(ABC\) - равнобедренный. Тангенс угла \(A\) известен, и он равен \(\frac{\sqrt{7}}{3}\). Мы можем найти косинус угла \(A\) из тангенса, используя основное тригонометрическое тождество:

\[tg A = \frac{sin A}{cos A}\] \[sin^2 A + cos^2 A = 1\]

Мы знаем, что \(tg A = \frac{\sqrt{7}}{3}\), поэтому:

\[\frac{sin A}{cos A} = \frac{\sqrt{7}}{3}\]

Выразим \(sin A\) через \(cos A\):

\[sin A = \frac{\sqrt{7}}{3} cos A\]

Подставим это выражение в основное тригонометрическое тождество:

\[(\frac{\sqrt{7}}{3} cos A)^2 + cos^2 A = 1\] \[\frac{7}{9} cos^2 A + cos^2 A = 1\] \[\frac{16}{9} cos^2 A = 1\] \[cos^2 A = \frac{9}{16}\] \[cos A = \frac{3}{4}\]

Теперь, когда известен косинус угла \(A\), можно воспользоваться теоремой косинусов для стороны \(AB\):

\[AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot cos C\]

Так как \(AC = BC\), перепишем уравнение:

\[AB^2 = 2AC^2 - 2AC^2 cos C\]

Угол \(C\) равен \(180° - 2A\), поэтому \(cos C = cos(180° - 2A) = -cos(2A)\). Косинус двойного угла можно выразить через косинус одинарного угла:

\[cos(2A) = 2cos^2 A - 1 = 2(\frac{3}{4})^2 - 1 = 2 \cdot \frac{9}{16} - 1 = \frac{9}{8} - 1 = \frac{1}{8}\]

Тогда \(cos C = -\frac{1}{8}\). Подставим все известные значения в уравнение теоремы косинусов:

\[18^2 = 2AC^2 - 2AC^2 (-\frac{1}{8})\] \[324 = 2AC^2 + \frac{1}{4}AC^2\] \[324 = \frac{9}{4}AC^2\] \[AC^2 = \frac{324 \cdot 4}{9} = \frac{1296}{9} = 144\] \[AC = \sqrt{144} = 12\]

Ответ: 12