В треугольнике \(ABC\) \(AC = BC\), \(AB = 18\), \(\text{tg } A = \frac{\sqrt{7}}{3}\). Найдите длину стороны \(AC\).

Треугольник \(ABC\) равнобедренный, так как \(AC = BC\). Пусть \(AC = BC = x\). Дано, что \(AB = 18\) и \(\text{tg } A = \frac{\sqrt{7}}{3}\). Проведем высоту \(CH\) к основанию \(AB\). Так как треугольник равнобедренный, высота является также медианой, поэтому \(AH = HB = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9\). В прямоугольном треугольнике \(ACH\): \[\text{tg } A = \frac{CH}{AH}\] \[CH = AH \cdot \text{tg } A = 9 \cdot \frac{\sqrt{7}}{3} = 3\sqrt{7}\] Теперь найдем \(AC\) по теореме Пифагора для треугольника \(ACH\): \[AC^2 = AH^2 + CH^2\] \[AC^2 = 9^2 + (3\sqrt{7})^2 = 81 + 9 \cdot 7 = 81 + 63 = 144\] \[AC = \sqrt{144} = 12\]

Ответ: 12

Проверка за 10 секунд: В равнобедренном треугольнике, если \(AB = 18\) и \(\text{tg } A = \frac{\sqrt{7}}{3}\), то \(AC = 12\).

Доп. профит: Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является медианой и биссектрисой, что упрощает решение задачи.