267 В треугольниках АВС и А1В1С1 углы А и А₁ – прямые, BD и В₁D₁ — биссектрисы. Докажите, что ДАВС = А1В1С1, если ∠B= ∠B₁ и_BD = B₁D1.

Ответ: Доказательство приведено ниже.

Доказательство:

• Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁.
• Углы A и A₁ - прямые, то есть ∠A = ∠A₁ = 90°.
• BD и B₁D₁ - биссектрисы углов B и B₁ соответственно.
• ∠B = ∠B₁.
• BD = B₁D₁.

Треугольники ABD и A₁B₁D₁ равны по гипотенузе и острому углу (BD = B₁D₁, ∠B/2 = ∠B₁/2).

Следовательно, AB = A₁B₁.

Так как ∠A = ∠A₁ и ∠B = ∠B₁, то и ∠C = ∠C₁ (по сумме углов треугольника).

Тогда треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по стороне и двум прилежащим углам (AB = A₁B₁, ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁).

Ответ: Доказательство приведено выше.