В треугольниках АВС и А1В1С1 AB = A₁B1, АС = А1С1, ∠A = ∠A₁. Hа сторонах АВ и А1В1 отмечены точки Р и Р₁ так, что АР = А1P1. Докажите, что ДВРС = ∆B₁P₁C1. На сторонах угла CAD отмечены точки В и Е так, что точка В лежит на отрезке АС, а точка Е — на отрезке AD, причём АС = AD и АВ = АЕ. Докажите, что ∠CBD = ∠DEC.

98. Дано: треугольники ABC и A₁B₁C₁, AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁, точки P и P₁ на сторонах AB и A₁B₁ соответственно, AP = A₁P₁.

Доказать: ΔBPC = ΔB₁P₁C₁.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁: AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁. Следовательно, ΔABC = ΔA₁B₁C₁ по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).
2. Из равенства треугольников следует, что BC = B₁C₁ и ∠B = ∠B₁.
3. Так как AB = A₁B₁ и AP = A₁P₁, то BP = AB - AP = A₁B₁ - A₁P₁ = B₁P₁.
4. Рассмотрим треугольники BPC и B₁P₁C₁: BP = B₁P₁, BC = B₁C₁, ∠B = ∠B₁. Следовательно, ΔBPC = ΔB₁P₁C₁ по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

Что и требовалось доказать.

99. Дано: угол CAD, точки B на AC и E на AD, AC = AD, AB = AE.

Доказать: ∠CBD = ∠DEC.

Доказательство:

1. Так как AC = AD и AB = AE, то BC = AC - AB = AD - AE = DE.
2. Рассмотрим треугольники ABE и ACD: AB = AE, AC = AD, ∠A - общий. Следовательно, ΔABE = ΔACD по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).
3. Из равенства треугольников следует, что ∠ABE = ∠ACD и BE = CD.
4. Рассмотрим треугольники BCD и DEB: BC = DE, BE = CD, BD - общая сторона. Следовательно, ΔBCD = ΔDEB по трём сторонам (третий признак равенства треугольников).
5. Из равенства треугольников следует, что ∠CBD = ∠DEC.

Что и требовалось доказать.