10. В треугольниках ABC и KPM проведены биссектрисы BO и PE, причем \(\triangle ABO = \triangle KPE\). Найдите отрезок EM, если AC = 9 см, а EM > KE на 3,8 см. а) 6,4 см; б) 5,4 см; в) 2,6 см; г) 4,8 см.

Поскольку \(\triangle ABO = \triangle KPE\), то AB = KP, AO = KE, BO = PE, \(\angle BAO = \angle EKP\), \(\angle ABO = \angle KPE\), \(\angle AOB = \angle KEP\).

Также, так как BO и PE - биссектрисы, то углы \(\angle ABC\) и \(\angle KPM\) равны, как и углы \(\angle BAC\) и \(\angle PKM\). Из этого следует, что \(\triangle ABC = \triangle KPM\). Значит AC = KM = 9 см.

Пусть KE = x, тогда EM = x + 3.8. Так как KM = KE + EM, то имеем:

$$x + x + 3.8 = 9$$ $$2x = 5.2$$ $$x = 2.6$$

Следовательно, EM = 2.6 + 3.8 = 6.4 см.

Ответ: а) 6,4 см