4. В трапеции ABCD (AD и BC - основания) диагонали пересекаются в точке О, AD= 12 см, ВС = 4 см. Найдите площадь треугольника ВОС, если площадь треугольника AOD равна 45 см².

Решение:

Рассмотрим треугольники AOD и BOC. Угол AOD = углу BOC (как вертикальные). Угол DAO = углу BCO (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AC). Следовательно, треугольники AOD и BOC подобны по двум углам.

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия, то есть S(BOC) / S(AOD) = (BC/AD)^2. Отсюда S(BOC) = S(AOD) * (BC/AD)^2 = 45 * (4/12)^2 = 45 * 1/9 = 5 см².

Ответ: 5 см²