7.23. В трапеции \(ABCD\) основания \(BC\) и \(AD\) равны соответственно 10 см и 35 см. Сумма углов \(A\) и \(D\) равна \(90^\circ\), а высота трапеции равна 12 см. Найдите боковые стороны трапеции.

Опустим высоты \(BH\) и \(CF\) на основание \(AD\). Так как сумма углов \(A\) и \(D\) равна \(90^\circ\), то треугольники \(ABH\) и \(CDF\) подобны. Кроме того, четырехугольник \(BCFH\) – прямоугольник, так как \(BH\), \(CF\) – высоты, а \(BC\) и \(HF\) параллельны. Следовательно, \(BC = HF = 10\) см.

Пусть \(AH = x\), тогда \(FD = AD - AH - HF = 35 - x - 10 = 25 - x\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный продолжением боковых сторон до их пересечения в точке \(O\). Тогда треугольники \(ABH\) и \(CDF\) – прямоугольные, и \(\angle A + \angle D = 90^\circ\). Это означает, что \(\angle A = 90^\circ - \angle D\), следовательно, \(\angle A + \angle B = 180^\circ\), а \(\angle B = 90^\circ - \angle A = \angle D\). Аналогично, \(\angle C = \angle A\). Следовательно, треугольники \(ABH\) и \(CDF\) подобны.

Поскольку \(\angle A + \angle D = 90^\circ\), это означает, что если мы «совместим» точки \(B\) и \(C\), а также точки \(H\) и \(F\), то получим прямоугольный треугольник, где \(AD\) – гипотенуза, а высота трапеции – высота этого прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу.

Высота, опущенная на гипотенузу, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу: \(BH^2 = AH \cdot FD\). Подставим известные значения: \(12^2 = x(25 - x)\), \(144 = 25x - x^2\), \(x^2 - 25x + 144 = 0\).

Решим квадратное уравнение: \(x^2 - 25x + 144 = 0\). Дискриминант \(D = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 144 = 625 - 576 = 49\). Тогда \(x_1 = \frac{25 + \sqrt{49}}{2} = \frac{25 + 7}{2} = 16\), \(x_2 = \frac{25 - \sqrt{49}}{2} = \frac{25 - 7}{2} = 9\).

Рассмотрим оба случая:

• Если \(AH = 16\) см, то \(FD = 25 - 16 = 9\) см.

  Тогда \(AB = \sqrt{AH^2 + BH^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20\) см.

  И \(CD = \sqrt{FD^2 + CF^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15\) см.

• Если \(AH = 9\) см, то \(FD = 25 - 9 = 16\) см.

  Тогда \(AB = \sqrt{AH^2 + BH^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15\) см.

  И \(CD = \sqrt{FD^2 + CF^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20\) см.

Ответ: Боковые стороны трапеции равны 15 см и 20 см.