В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/3 высоты. Объём жидкости равен 20 мл. Найдите объём сосуда. Ответ дайте в миллилитрах.

Решение:

Объём конуса вычисляется по формуле \( V = \frac{1}{3}\pi R^2 H \), где \( R \) — радиус основания, \( H \) — высота.

Пусть \( V_{сосуда} \) — объём всего конуса, а \( V_{жидкости} \) — объём жидкости.

Высота жидкости \( h = \frac{1}{3} H \).

Жидкость в конусе образует меньший конус, подобный большому.

Отношение радиусов подобных конусов равно отношению их высот: \( \frac{r}{R} = \frac{h}{H} = \frac{1}{3} \), где \( r \) — радиус жидкости.

Объём жидкости \( V_{жидкости} = \frac{1}{3}\pi r^2 h \).

Подставим \( r = \frac{1}{3}R \) и \( h = \frac{1}{3}H \):

\( V_{жидкости} = \frac{1}{3}\pi (\frac{1}{3}R)^2 (\frac{1}{3}H) = \frac{1}{3}\pi \frac{1}{9}R^2 \frac{1}{3}H = \frac{1}{27} (\frac{1}{3}\pi R^2 H) = \frac{1}{27} V_{сосуда} \).

Нам дано, что \( V_{жидкости} = 20 \text{ мл} \).

Значит, \( 20 \text{ мл} = \frac{1}{27} V_{сосуда} \).

Чтобы найти объём сосуда, умножим объём жидкости на 27:

\( V_{сосуда} = 20 \text{ мл} \times 27 = 540 \text{ мл} \).

Ответ: 540 мл