1. В сферу радиуса 12,5 см вписан конус, высота которого равна 16 см. Найти S осевого сечения конуса, и Ѕ поверхности конуса. 2. В сферу вписан конус, осевое сечение которого представляет собой прямоугольный Д-к с гипотенузой равной 12V2. Вычислить площадь поверхности сферы. 3. В шар радиуса 12 см вписан цилиндр, в котором диагональ осевого сечения составляет с его основанием угол 600 . Вычислить площадь полной поверхности цилиндра. 4. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 2, 4 и 4 см. Найдите площадь поверхности описанной около него сферы. 5. Около правильной шестиугольной призмы описана сфера радиуса 5 см. Найдите площадь основания призмы, если ее высота 8 см.

Решение: 1. Дано: сфера радиуса $$R = 12,5$$ см, конус, вписанный в сферу, высота конуса $$h = 16$$ см. Найти: площадь осевого сечения конуса $$S_{ос}$$ и площадь поверхности конуса $$S_{бок}$$.

1. Площадь осевого сечения конуса: $$S_{ос} = rac{1}{2} cdot 2r cdot h = r cdot h$$, где $$r$$ - радиус основания конуса.
2. Найдем радиус основания конуса. Центр сферы лежит на высоте конуса. Пусть $$O$$ – центр сферы, тогда $$AO = R$$. Если $$h > R$$, то центр сферы лежит вне конуса. Пусть $$x$$ – расстояние от центра сферы до основания конуса, тогда $$x = h - R = 16 - 12.5 = 3.5$$ см.
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом сферы, расстоянием от центра сферы до основания конуса и радиусом основания конуса: $$R^2 = x^2 + r^2$$. Отсюда $$r = sqrt{R^2 - x^2} = sqrt{12.5^2 - 3.5^2} = sqrt{156.25 - 12.25} = sqrt{144} = 12$$ см.
4. Тогда площадь осевого сечения конуса: $$S_{ос} = r cdot h = 12 cdot 16 = 192$$ кв. см.
5. Площадь боковой поверхности конуса: $$S_{бок} = pi r l$$, где $$l$$ – образующая конуса. Найдем образующую конуса: $$l = sqrt{r^2 + h^2} = sqrt{12^2 + 16^2} = sqrt{144 + 256} = sqrt{400} = 20$$ см.
6. Тогда площадь боковой поверхности конуса: $$S_{бок} = pi cdot 12 cdot 20 = 240pi$$ кв. см.

Ответ: $$S_{ос} = 192$$ кв. см, $$S_{бок} = 240pi$$ кв. см. 2. Дано: сфера, в сферу вписан конус, осевое сечение конуса - прямоугольный треугольник с гипотенузой $$12sqrt{2}$$. Найти: площадь поверхности сферы $$S_{сф}$$.

1. Т.к. осевое сечение конуса представляет собой прямоугольный треугольник, то он является равнобедренным, а гипотенуза является диаметром основания конуса. Значит, диаметр основания конуса равен $$12sqrt{2}$$, а радиус основания конуса $$r = rac{12sqrt{2}}{2} = 6sqrt{2}$$.
2. Т.к. осевое сечение является прямоугольным треугольником, то высота конуса равна радиусу основания $$h = r = 6sqrt{2}$$.
3. Радиус сферы равен расстоянию от вершины конуса до центра основания. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой конуса, радиусом основания и радиусом сферы, радиус сферы является гипотенузой. $$R = sqrt{r^2 + (rac{h}{2})^2} = sqrt{(6sqrt{2})^2 + (3sqrt{2})^2} = sqrt{72 + 18} = sqrt{90} = 3sqrt{10}$$.
4. Площадь поверхности сферы: $$S_{сф} = 4pi R^2 = 4pi (3sqrt{10})^2 = 4pi cdot 90 = 360pi$$.

Ответ: $$S_{сф} = 360pi$$. 3. Дано: шар радиуса $$R = 12$$ см, цилиндр, вписанный в шар, диагональ осевого сечения цилиндра составляет с основанием угол $$60^circ$$. Найти: площадь полной поверхности цилиндра $$S_{пол}$$.

1. Площадь полной поверхности цилиндра: $$S_{пол} = 2S_{осн} + S_{бок} = 2pi r^2 + 2pi r h$$, где $$r$$ – радиус основания цилиндра, $$h$$ – высота цилиндра.
2. Рассмотрим осевое сечение цилиндра. Это прямоугольник, диагональ которого составляет с основанием угол $$60^circ$$. Тогда $$h = 2r cdot an{60^circ}$$.
3. Центр шара лежит на высоте цилиндра. Если $$h < R$$, то центр шара лежит внутри цилиндра. Если $$h > R$$, то центр шара лежит вне цилиндра.
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара, половиной высоты цилиндра и радиусом основания цилиндра: $$R^2 = r^2 + (rac{h}{2})^2$$. Отсюда $$r^2 = R^2 - (rac{h}{2})^2$$.
5. Так как диагональ осевого сечения составляет с основанием угол $$60^circ$$, то $$h = 2r cdot an{60^circ} = 2rsqrt{3}$$. Подставим в предыдущее уравнение: $$R^2 = r^2 + (rac{2rsqrt{3}}{2})^2 = r^2 + 3r^2 = 4r^2$$.
6. Тогда $$r = sqrt{rac{R^2}{4}} = rac{R}{2} = rac{12}{2} = 6$$ см. Высота цилиндра: $$h = 2rsqrt{3} = 2 cdot 6 cdot sqrt{3} = 12sqrt{3}$$ см.
7. Площадь полной поверхности цилиндра: $$S_{пол} = 2pi r^2 + 2pi r h = 2pi cdot 6^2 + 2pi cdot 6 cdot 12sqrt{3} = 72pi + 144pisqrt{3} = 72pi(1 + 2sqrt{3})$$ кв. см.

Ответ: $$S_{пол} = 72pi(1 + 2sqrt{3})$$ кв. см. 4. Дано: прямоугольный параллелепипед с измерениями $$a = 2$$ см, $$b = 4$$ см, $$c = 4$$ см. Найти: площадь поверхности описанной около него сферы $$S_{сф}$$.

1. Площадь поверхности сферы: $$S_{сф} = 4pi R^2$$, где $$R$$ – радиус сферы. Радиус сферы, описанной около прямоугольного параллелепипеда, равен половине диагонали параллелепипеда: $$R = rac{d}{2}$$.
2. Найдем диагональ параллелепипеда: $$d = sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = sqrt{2^2 + 4^2 + 4^2} = sqrt{4 + 16 + 16} = sqrt{36} = 6$$ см.
3. Тогда радиус сферы: $$R = rac{6}{2} = 3$$ см. Площадь поверхности сферы: $$S_{сф} = 4pi cdot 3^2 = 36pi$$ кв. см.

Ответ: $$S_{сф} = 36pi$$ кв. см. 5. Дано: правильная шестиугольная призма, около призмы описана сфера радиуса $$R = 5$$ см, высота призмы $$h = 8$$ см. Найти: площадь основания призмы $$S_{осн}$$.

1. Т.к. около призмы описана сфера, то центр сферы лежит в середине высоты призмы. Радиус сферы равен расстоянию от центра сферы до вершины призмы. Радиус основания призмы равен стороне правильного шестиугольника.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом сферы, половиной высоты призмы и радиусом основания призмы: $$R^2 = (rac{h}{2})^2 + r^2$$. Отсюда $$r^2 = R^2 - (rac{h}{2})^2$$.
3. Тогда $$r = sqrt{R^2 - (rac{h}{2})^2} = sqrt{5^2 - (rac{8}{2})^2} = sqrt{25 - 16} = sqrt{9} = 3$$ см.
4. Площадь правильного шестиугольника: $$S_{осн} = rac{3sqrt{3}}{2} a^2$$, где $$a$$ – сторона правильного шестиугольника. Т.к. призма правильная, то сторона шестиугольника равна радиусу окружности, описанной около шестиугольника: $$a = r = 3$$ см.
5. Тогда площадь основания призмы: $$S_{осн} = rac{3sqrt{3}}{2} cdot 3^2 = rac{27sqrt{3}}{2}$$ кв. см.

Ответ: $$S_{осн} = rac{27sqrt{3}}{2}$$ кв. см.