1. В сферу радиуса 12,5 см вписан конус, высота которого равна 16 см. Найти S осевого сечения конуса, и S поверхности конуса.

Question

Вопрос:

Ответ:

Accepted Answer

Найдем радиус основания конуса. Центр сферы лежит на оси конуса. Пусть радиус основания конуса равен $$r$$, тогда по теореме Пифагора: $$r^2 + (16 - 12.5)^2 = 12.5^2$$ $$r^2 + 3.5^2 = 12.5^2$$ $$r^2 = 12.5^2 - 3.5^2$$ $$r^2 = (12.5 - 3.5)(12.5 + 3.5)$$ $$r^2 = 9 cdot 16$$ $$r^2 = 144$$ $$r = 12$$
Найдем площадь осевого сечения конуса. Осевое сечение конуса – равнобедренный треугольник с основанием, равным 2r, и высотой, равной 16 см. Тогда площадь осевого сечения равна: $$S_{сеч} = \frac{1}{2} cdot 2r cdot h = r cdot h$$ $$S_{сеч} = 12 cdot 16 = 192 \text{ см}^2$$
Найдем образующую конуса. По теореме Пифагора: $$l^2 = r^2 + h^2$$ $$l^2 = 12^2 + 16^2$$ $$l^2 = 144 + 256$$ $$l^2 = 400$$ $$l = 20$$
Найдем площадь поверхности конуса. Площадь поверхности конуса равна: $$S_{пов} = \pi r (r + l)$$ $$S_{пов} = \pi cdot 12 (12 + 20)$$ $$S_{пов} = \pi cdot 12 cdot 32$$ $$S_{пов} = 384\pi \text{ см}^2$$
Ответ: площадь осевого сечения конуса равна 192 см², площадь поверхности конуса равна 384$$\pi$$ см².