В равностороннем треугольнике ABC медианы AM и CN пересекаются в точке P. Найдите длину отрезка PC, если AB = 6√3.

В равностороннем треугольнике все стороны равны, поэтому ( AB = BC = CA = 6sqrt{3} ). Медианы в равностороннем треугольнике также являются высотами и биссектрисами. Точка пересечения медиан (P) делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. 1. Найдем длину медианы CN. Поскольку CN является также высотой, то треугольник ANC - прямоугольный. Используем теорему Пифагора для треугольника ANC: ( CN^2 + AN^2 = AC^2 ) ( CN^2 + (3sqrt{3})^2 = (6sqrt{3})^2 ) ( CN^2 + 27 = 108 ) ( CN^2 = 81 ) ( CN = 9 ) 2. Так как точка P делит медиану CN в отношении 2:1, то длина отрезка PC составляет (rac{2}{3}) от длины CN. ( PC = rac{2}{3} cdot CN ) ( PC = rac{2}{3} cdot 9 ) ( PC = 6 ) Таким образом, длина отрезка PC равна 6.