В равностороннем треугольнике ABC медианы AM и CN пересекаются в точке P. Найдите длину отрезка PC, если AB = 6√3.

В равностороннем треугольнике медианы являются и биссектрисами, и высотами. Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

1. Найдем длину медианы AM. Так как AM является высотой в равностороннем треугольнике, то:

$$AM = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot AB$$

2. Подставим значение AB:

$$AM = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 6\sqrt{3} = \frac{6 \cdot 3}{2} = 9$$

3. Так как точка P делит медиану AM в отношении 2:1, то AP:PM = 2:1. Следовательно, AP = 2/3 от AM, а PM = 1/3 от AM.

4. Аналогично, PC = 2/3 от CN, где CN = AM = 9.

5. Найдем длину PC:

$$PC = \frac{2}{3} \cdot CN = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6$$

Ответ: 6