4. В равностороннем треугольнике \(ABC\) биссектрисы \(CN\) и \(AM\) пересекаются в точке \(P\). Найдите \(\angle MPN\).

Ответ: 60

1. В равностороннем треугольнике все углы равны \(60^\circ\).
2. Так как \(CN\) и \(AM\) биссектрисы, то \(\angle NCA = \angle MAC = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ\).
3. Рассмотрим четырехугольник \(ANPC\). Сумма углов в четырехугольнике равна \(360^\circ\). \(\angle ANC = \angle AMC = 90^\circ\) (высоты) Следовательно, \(\angle NPC = 360^\circ - (90^\circ + 90^\circ + 60^\circ) = 120^\circ\).
4. Углы \(\angle MPN\) и \(\angle NPC\) смежные, значит, их сумма равна \(180^\circ\). \(\angle MPN = 180^\circ - \angle NPC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\).

Ответ: 60