373. В равнобедренный треугольник вписана окружность с центром О, и около него описана окружность с центром Е. Докажите, что точки О и Е лежат на серединном перпендикуляре к основанию треугольника.

Доказательство: 1. Пусть ABC – равнобедренный треугольник (AB = AC). Пусть M – середина основания BC. 2. Тогда AM – высота, медиана и биссектриса треугольника ABC (по свойству равнобедренного треугольника). 3. Центр описанной окружности Е лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Серединный перпендикуляр к BC проходит через точку M (середину BC) и перпендикулярен BC. Следовательно, он совпадает с прямой AM. Значит, точка E лежит на AM. 4. Центр вписанной окружности O лежит на пересечении биссектрис углов треугольника. Так как AM – биссектриса угла BAC, то точка O лежит на AM. 5. Следовательно, точки O и E лежат на прямой AM, которая является серединным перпендикуляром к основанию BC. Что и требовалось доказать.