В равнобедренной трапеции основания равны 4 и 8, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь трапеции.

Проведем высоты из вершин меньшего основания к большему основанию. Так как трапеция равнобедренная, то эти высоты отсекут от большего основания два равных отрезка.

Обозначим длину большего основания как $$b$$, меньшего основания как $$a$$, а длину отрезка, отсеченного высотой, как $$x$$. Тогда:

$$x = \frac{b - a}{2} = \frac{8 - 4}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой трапеции, боковой стороной и отрезком x. Так как угол между боковой стороной и основанием равен 45°, то этот треугольник является равнобедренным, и высота трапеции равна x, то есть $$h = x = 2$$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$$S = \frac{a + b}{2} \cdot h,$$

где $$a$$ и $$b$$ - основания трапеции, $$h$$ - высота трапеции.

В данном случае:

• Основания трапеции: $$a = 4$$ и $$b = 8$$.
• Высота трапеции: $$h = 2$$.

Подставим известные значения в формулу:

$$S = \frac{4 + 8}{2} \cdot 2 = \frac{12}{2} \cdot 2 = 6 \cdot 2 = 12$$

Ответ: Площадь трапеции равна 12.

Ответ: 12