Контрольные задания > 4) В равнобедренной трапеции один из углов при большем основании равен 60°, а основания равны 16 и 10 см. Чему равен периметр трапеции? 5) В параллелограмме PTKM проведена биссектриса угла P, которая пересекает сторону TK в точке S. а) Докажите, что \(\triangle PTS\) - равнобедренный. б) Найдите сторону PM, если TS=9см, а периметр параллелограмма равен 50 см. 6) На стороне NK параллелограмма MNKP взята точка E так, что MN=NE. а) Докажите, что ME - биссектриса \(\angle NMP\). б) Найдите периметр параллелограмма, если EK=3см, KP=5 см.
Вопрос:

4) В равнобедренной трапеции один из углов при большем основании равен 60°, а основания равны 16 и 10 см. Чему равен периметр трапеции? 5) В параллелограмме PTKM проведена биссектриса угла P, которая пересекает сторону TK в точке S. а) Докажите, что \(\triangle PTS\) - равнобедренный. б) Найдите сторону PM, если TS=9см, а периметр параллелограмма равен 50 см. 6) На стороне NK параллелограмма MNKP взята точка E так, что MN=NE. а) Докажите, что ME - биссектриса \(\angle NMP\). б) Найдите периметр параллелограмма, если EK=3см, KP=5 см.

Ответ:

4)
  1. Опустим высоты из вершин меньшего основания на большее. Получим два прямоугольных треугольника.
  2. Так как трапеция равнобедренная, то эти треугольники равны.
  3. Обозначим основания трапеции за \(a\) и \(b\), большее и меньшее соответственно. \(a = 16\), \(b = 10\). Тогда, катет прямоугольного треугольника, прилежащий к углу 60°, равен \(\frac{a-b}{2} = \frac{16-10}{2} = 3\).
  4. В прямоугольном треугольнике катет, прилежащий к углу 60°, равен 3. Тогда гипотенуза (боковая сторона трапеции) равна \(\frac{3}{\cos{60°}} = \frac{3}{\frac{1}{2}} = 6\).
  5. Периметр трапеции равен сумме длин всех сторон: \(P = a + b + 2 \cdot 6 = 16 + 10 + 12 = 38\) см.
Ответ: Периметр трапеции равен 38 см. 5)
  1. а) Докажем, что \(\triangle PTS\) - равнобедренный.
  2. Так как PTKM - параллелограмм, то \(PT \parallel KM\). Следовательно, \(\angle PTS = \angle TP\) как накрест лежащие углы.
  3. По условию, PS - биссектриса угла P, следовательно, \(\angle TPS = \angle KPS\).
  4. Таким образом, \(\angle PTS = \angle TPS\), а значит, \(\triangle PTS\) - равнобедренный, и \(PT = TS\).
  5. б) Найдем сторону PM, если TS=9см, а периметр параллелограмма равен 50 см.
  6. Так как \(PT = TS = 9\) см и PTKM - параллелограмм, то \(KM = PT = 9\) см.
  7. Пусть PM = x. Тогда \(TK = PM = x\).
  8. Периметр параллелограмма равен \(2(PT + PM) = 50\).
  9. Следовательно, \(2(9 + x) = 50\), \(9 + x = 25\), \(x = 16\) см.
Ответ: Сторона PM равна 16 см. 6)
  1. а) Докажем, что ME - биссектриса \(\angle NMP\).
  2. Так как MNKP - параллелограмм, то \(MN \parallel KP\), следовательно, \(\angle MNK = \angle MPK\) как соответственные углы.
  3. По условию, MN = NE, следовательно, \(\triangle MNE\) - равнобедренный, и \(\angle NME = \angle NEM\).
  4. \(\angle NEM = \angle MPK\) как накрест лежащие углы при параллельных прямых MN и KP и секущей NE.
  5. Таким образом, \(\angle NME = \angle MEP\), следовательно, ME - биссектриса \(\angle NMP\).
  6. б) Найдем периметр параллелограмма, если EK=3см, KP=5 см.
  7. Так как MNKP - параллелограмм, то \(MN = KP = 5\) см и \(NK = MP\).
  8. По условию, EK = 3 см, следовательно, NE = NK - EK.
  9. Так как MN = NE, то NE = 5 см.
  10. Тогда NK = NE + EK = 5 + 3 = 8 см.
  11. Периметр параллелограмма равен \(2(MN + NK) = 2(5 + 8) = 2 \cdot 13 = 26\) см.
Ответ: Периметр параллелограмма равен 26 см.
Смотреть решения всех заданий с листа

Похожие