В равнобедренном треугольнике угол при основании на 15° меньше чем угол при вершине, противолежащий основанию. Найдите углы этого треугольника.

Решение:

Пусть углы при основании равнобедренного треугольника равны \( \alpha \), а угол при вершине равен \( \beta \).

По условию, \( \alpha = \beta - 15^{\circ} \).

Сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \): \( 2\alpha + \beta = 180^{\circ} \).

Подставим первое уравнение во второе:

\( 2(\beta - 15^{\circ}) + \beta = 180^{\circ} \)

\( 2\beta - 30^{\circ} + \beta = 180^{\circ} \)

\( 3\beta = 180^{\circ} + 30^{\circ} \)

\( 3\beta = 210^{\circ} \)

\( \beta = \frac{210^{\circ}}{3} = 70^{\circ} \)

Теперь найдём углы при основании:

\( \alpha = \beta - 15^{\circ} = 70^{\circ} - 15^{\circ} = 55^{\circ} \)

Проверка: \( 2 \cdot 55^{\circ} + 70^{\circ} = 110^{\circ} + 70^{\circ} = 180^{\circ} \).

Ответ: Углы треугольника равны 55°, 55° и 70°.