Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 18см. Найдите гипотенузу и меньший катет.

Решение:

Пусть данный прямоугольный треугольник — ABC, с прямым углом C. Один из острых углов равен \( 60^{\circ} \), значит, второй острый угол равен \( 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

Меньший катет лежит напротив меньшего угла, то есть напротив \( 30^{\circ} \). Пусть гипотенуза равна \( c \), а меньший катет равен \( a \).

По условию: \( c + a = 18 \text{ см} \).

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в \( 30^{\circ} \), равен половине гипотенузы:

\( a = \frac{1}{2}c \)

Подставим это в первое уравнение:

\( c + \frac{1}{2}c = 18 \text{ см} \)

\( \frac{3}{2}c = 18 \text{ см} \)

\( c = 18 \text{ см} \cdot \frac{2}{3} \)

\( c = 12 \text{ см} \)

Теперь найдём меньший катет:

\( a = \frac{1}{2}c = \frac{1}{2} \cdot 12 \text{ см} = 6 \text{ см} \)

Проверка: \( 12 \text{ см} + 6 \text{ см} = 18 \text{ см} \).

Ответ: Гипотенуза равна 12 см, а меньший катет равен 6 см.