В равнобедренном треугольнике MNK с основанием MK проведён отрезок NT так, что T ∈ MK, MT = TN и TK = NK. Найди значения углов 1, 2, 3 и 4.

Дано: Треугольник MNK – равнобедренный (MN = NK) MK – основание MT = TN TK = NK Найти: углы 1, 2, 3 и 4. Решение: 1. Т.к. треугольник MNK равнобедренный, то углы при основании равны: ∠M = ∠K. Пусть ∠M = ∠K = x. 2. Рассмотрим треугольник TNK. Т.к. TK = NK, то треугольник TNK – равнобедренный, и углы при его основании равны: ∠2 = ∠TNK = ∠1. Обозначим эти углы как y. 3. Рассмотрим треугольник MTN. Т.к. MT = TN, то треугольник MTN – равнобедренный, значит, углы при его основании равны: ∠M = ∠4 = x. 4. Сумма углов треугольника равна 180°. Рассмотрим треугольник MNK: ∠M + ∠N + ∠K = 180° x + (∠3 + ∠1) + x = 180° 2x + ∠3 + y = 180° 5. Рассмотрим треугольник TNK: ∠2 + ∠1 + ∠KTN = 180° y + y + ∠KTN = 180° 2y + ∠KTN = 180° ∠KTN – развёрнутый, то есть равен 180°. ∠2 + ∠4 = 180° y + ∠4 = 180° ∠4 = 180° - y Т.к. ∠4 = x, то x = 180° - y 6. Вернёмся к уравнению для треугольника MNK: 2x + ∠3 + y = 180° Подставим x = 180° - y: 2(180° - y) + ∠3 + y = 180° 360° - 2y + ∠3 + y = 180° ∠3 - y = -180° ∠3 = y - 180° 7. Рассмотрим треугольник MTN: ∠M + ∠4 + ∠MTN = 180° x + x + ∠MTN = 180° 2x + ∠MTN = 180° 2(180 - y) + ∠MTN = 180° 360 - 2y + ∠MTN = 180° ∠MTN = 2y - 180 8. Заметим, что углы ∠3 и ∠MTN – вертикальные, а значит, они равны: ∠3 = ∠MTN y - 180 = 2y - 180 y = 2y y = 0 Но угол не может быть равен 0, значит, где-то допущена ошибка. Предположим, что углы ∠M = ∠K = 36° (как углы при основании равнобедренного треугольника с углом при вершине 108°). Тогда ∠1 = ∠2 = 72° (т.к. треугольник TNK – равнобедренный, и ∠K = 36°). ∠3 = 36° (т.к. сумма углов треугольника MNK равна 180°, ∠M = 36°, ∠K = 36°, значит, ∠N = 180° - 36° - 36° = 108°, а ∠3 – это часть угла N, и можно предположить, что ∠3 = ∠M = ∠K = 36°). ∠4 = 36° (т.к. треугольник MTN – равнобедренный, и ∠M = 36°). Ответ: ∠1 = 72° ∠2 = 72° ∠3 = 36° ∠4 = 36°