В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 13 дм и основание равно 10 дм. Найдите: высоту этого треугольника, проведенную к основанию треугольника; площадь треугольника.

Решение:

Дано:

• Равнобедренный треугольник ABC.
• Боковая сторона \( AB = BC = 13 \) дм.
• Основание \( AC = 10 \) дм.

Найти:

• Высоту \( BH \) к основанию.
• Площадь \( S_{ABC} \).

1. Нахождение высоты:

1. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Это значит, что она делит основание пополам.
2. \( AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{10}{2} = 5 \) дм.
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. По теореме Пифагора: \( AH^2 + BH^2 = AB^2 \).
4. Подставим значения:
• \[ 5^2 + BH^2 = 13^2 \]
• \[ 25 + BH^2 = 169 \]
• \[ BH^2 = 169 - 25 \]
• \[ BH^2 = 144 \]
• \[ BH = \sqrt{144} = 12 \] дм.

2. Нахождение площади:

Площадь треугольника вычисляется по формуле: \( S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} \).

1. Подставим значения основания и найденной высоты:
• \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH \]
• \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 \]
• \[ S_{ABC} = 5 \cdot 12 = 60 \] дм².

Ответ: Высота треугольника, проведенная к основанию, равна 12 дм. Площадь треугольника равна 60 дм².