Решение:

1) Рассмотрим прямоугольную трапецию MTPK, где TP и MK – основания, причем TP = 5 и MK = 11. MP является диагональю и биссектрисой угла TMK.

2) Так как MP – биссектриса угла TMK, то ∠TMP = ∠PMK. Обозначим эти углы как α, то есть ∠TMP = ∠PMK = α.

3) Поскольку TP || MK (свойства оснований трапеции), то ∠TMP и ∠PMK являются накрест лежащими углами при параллельных прямых TP и MK и секущей MP. Следовательно, ∠TPM = ∠PMK = α.

4) Рассмотрим треугольник MTP. В нем ∠TMP = ∠TPM = α, значит, треугольник MTP – равнобедренный, и MT = TP = 5.

5) Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник MTK (трапеция прямоугольная, поэтому ∠MTK = 90°). Поскольку ∠TMK = 2α и ∠MTK = 90°, то cos(2α) = MT / MK = 5 / 11.

6) Далее, используем тригонометрическое тождество cos(2α) = 2cos²(α) - 1. Получаем: 2cos²(α) - 1 = 5 / 11.

7) Решим уравнение относительно cos²(α): 2cos²(α) = 1 + (5 / 11) = 16 / 11; cos²(α) = (16 / 11) / 2 = 8 / 11.

8) cos(α) = √(8 / 11).

9) Рассмотрим прямоугольный треугольник MTK. Найдем высоту TK. Поскольку MT = 5, MK = 11, ∠TMK = 2α и cos(2α) = 5/11, можно найти высоту TK, используя тангенс угла 2α.

10) sin(2α) = √(1 - cos²(2α)) = √(1 - (5/11)²) = √(1 - 25/121) = √(96/121) = (4√6) / 11.

11) tg(2α) = sin(2α) / cos(2α) = ((4√6) / 11) / (5 / 11) = (4√6) / 5.

12) Теперь, зная MT = 5 и tg(2α) = (4√6) / 5, найдем TK из треугольника MTK:

tg(2α) = TK / MT ⇒ TK = MT * tg(2α) = 5 * ((4√6) / 5) = 4√6.

13) Площадь трапеции MTPK вычисляется по формуле:

S = ((TP + MK) / 2) * TK = ((5 + 11) / 2) * 4√6 = (16 / 2) * 4√6 = 8 * 4√6 = 32√6.

Ответ: Площадь трапеции равна 32√6.