18. В прямоугольной трапеции АВСD с основаниями AD и ВС диагональ АС является биссектрисой угла 4, равного 45°. Найдите длину диагонали BD, если меньшее основание трапеции равно 10√2. Запишите решение и ответ.

Решение:

В прямоугольной трапеции ABCD, где углы A и D прямые, диагональ AC является биссектрисой угла A, равного 45°. Это означает, что угол BAC также равен 45°.

Пусть меньшее основание BC = 10√2.

Так как угол BAC = 45°, треугольник ABC прямоугольный и равнобедренный (угол ABC = 90°). Следовательно, AB = BC = 10√2.

Рассмотрим треугольник ABD. Угол A = 90°, AB = 10√2. Нужно найти BD.

Так как ABCD прямоугольная трапеция, угол ADC = 90°. Поскольку угол DAC = 45° (AC - биссектриса), треугольник ADC также прямоугольный и равнобедренный, и AD = DC.

Высота трапеции AB = DC = 10√2. Следовательно, AD = 10√2.

Теперь найдем диагональ BD по теореме Пифагора из треугольника ABD:\[BD^2 = AB^2 + AD^2 = (10\sqrt{2})^2 + (10\sqrt{2})^2 = 200 + 200 = 400\]\[BD = \sqrt{400} = 20\]

Ответ: 20