4. В прямоугольном треугольнике ABC ∠C = 90°, биссектриса AK равна 20 см, ∠AKB = 120°. Найдите расстояние от точки K до прямой AB.

В прямоугольном треугольнике ABC, угол C = 90°. AK - биссектриса, то есть ∠BAK = ∠CAK. ∠AKB = 120°. Тогда ∠AKC = 180° - 120° = 60° (смежные углы). В треугольнике AKC: ∠CAK + ∠AKC + ∠C = 180°, следовательно, ∠CAK + 60° + 90° = 180°, отсюда ∠CAK = 180° - 150° = 30°. Значит, ∠BAK = ∠CAK = 30°, а ∠BAC = 2 * 30° = 60°. Тогда ∠B = 180° - 90° - 60° = 30°. Рассмотрим треугольник AKB. ∠BAK = 30°, ∠AKB = 120°, тогда ∠ABK = 180° - 30° - 120° = 30°. Значит, треугольник AKB равнобедренный (AK = BK), а AK = 20 см, следовательно, BK = 20 см. Пусть KD - перпендикуляр от точки K к прямой AB. Тогда KD - искомое расстояние. В прямоугольном треугольнике KDB: ∠B = 30°, BK = 20 см. KD - катет, лежащий против угла 30°. Следовательно, KD = BK / 2 = 20 / 2 = 10 см. Ответ: Расстояние от точки K до прямой AB равно 10 см.