4. В прямоугольном треугольнике ABC ∠C= 90°, биссек- триса АК в 2 раза больше расстояния от точки К до пря- мой АВ. Гипотенуза АВ = 32 см. Найдите катет АС.

Ответ: 16 см

1. Обозначим расстояние от точки K до прямой AB как KD. Тогда, по условию, AK = 2 * KD.
2. Так как AK — биссектриса угла A, то KD = KC, где KC — расстояние от точки K до катета AC. Следовательно, AK = 2 * KC.
3. Рассмотрим треугольник AKC. Пусть KC = x, тогда AK = 2x. По теореме Пифагора, AC^2 + KC^2 = AK^2. AC^2 + x^2 = (2x)^2 AC^2 + x^2 = 4x^2 AC^2 = 3x^2 AC = x * sqrt(3)
4. Рассмотрим треугольник ABC. Обозначим угол BAC как α. Тогда угол BAK = α/2, так как AK — биссектриса. В треугольнике AKC, sin(α/2) = KC/AK = x/(2x) = 1/2. Следовательно, α/2 = 30°, и α = 60°.
5. В прямоугольном треугольнике ABC, если угол BAC = 60°, то угол ABC = 30°. Катет AC лежит напротив угла 30°, следовательно, AC = AB/2, где AB — гипотенуза.
6. Так как AB = 32 см, то AC = 32/2 = 16 см.

Ответ: 16 см