4. В прямоугольном параллелепипеде \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) рёбра \(AB\), \(BC\) и диагональ боковой грани \(BC_1\) равны соответственно 7, 3 и \(3\sqrt{5}\). Найдите объём параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\).

Дано: \(AB=7\), \(BC=3\), \(BC_1 = 3\sqrt{5}\). Необходимо найти объём параллелепипеда. 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(BCC_1\). По теореме Пифагора, \(BC^2 + CC_1^2 = BC_1^2\). Подставим известные значения: \(3^2 + CC_1^2 = (3\sqrt{5})^2\), откуда \(9 + CC_1^2 = 45\), следовательно, \(CC_1^2 = 36\), и \(CC_1 = 6\). Таким образом, высота параллелепипеда равна 6. 2. Площадь основания (прямоугольника \(ABCD\)) равна \(AB \cdot BC = 7 \cdot 3 = 21\). 3. Объём параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту: \(V = S \cdot CC_1 = 21 \cdot 6 = 126\). Ответ: Объём параллелепипеда равен 126.