3. В прямоугольном параллелепипеде $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ известно, что $$AB = 9$$, $$BC = 7$$, $$AA_1=6$$. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $$A, B, C, B_1$$.

Многогранник $$ABCB_1$$ - это треугольная пирамида, основанием которой является треугольник $$ABC$$, а вершиной - точка $$B_1$$. Так как параллелепипед прямоугольный, то $$ABC$$ - прямоугольный треугольник с катетами $$AB = 9$$ и $$BC = 7$$. Высота пирамиды равна $$BB_1 = AA_1 = 6$$.

Площадь основания пирамиды (треугольника $$ABC$$) равна половине произведения катетов:

$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 7 = \frac{63}{2} = 31.5$$

Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту:

$$V_{ABCB_1} = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot BB_1 = \frac{1}{3} \cdot 31.5 \cdot 6 = 31.5 \cdot 2 = 63$$

Ответ: 63