Решение задачи

Пусть $$AA_1 = h$$ – высота параллелепипеда. Объем пирамиды $$ACDD_1$$ можно выразить как треть произведения площади основания $$ACD$$ на высоту, проведенную к этому основанию.

Основание $$ACD$$ – это половина прямоугольника $$ABCD$$, поэтому его площадь равна:

$$S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 21 = 210$$

Высота пирамиды, опущенная из вершины $$D_1$$ на плоскость $$ACD$$, равна высоте параллелепипеда $$AA_1 = h$$.

Тогда объем пирамиды $$ACDD_1$$ равен:

$$V_{ACDD_1} = \frac{1}{3} \cdot S_{ACD} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 210 \cdot h = 70h$$

По условию, объем пирамиды равен 1540:

$$70h = 1540$$

Решаем уравнение относительно $$h$$:

$$h = \frac{1540}{70} = 22$$

Следовательно, длина ребра $$AA_1$$ равна 22.

Ответ: 22