В прямоугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, AB=80, sinA=\(\frac{3}{4}\). Найдите длину отрезка AH.

Пошаговое решение:

• Найдем AC, используя определение синуса: \(\sin A = \frac{BC}{AB}\), тогда \(BC = AB \cdot \sin A = 80 \cdot \frac{3}{4} = 60\)
• Применим теорему Пифагора для треугольника ABC: \(AC^2 + BC^2 = AB^2\), следовательно, \(AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{80^2 - 60^2} = \sqrt{6400 - 3600} = \sqrt{2800} = 20\sqrt{7}\)
• Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее геометрическое проекций катетов на гипотенузу: \(CH^2 = AH \cdot BH\)
• Так как \(\sin A = \frac{CH}{AC} = \frac{3}{4}\), то \(CH = AC \cdot \frac{3}{4} = 20\sqrt{7} \cdot \frac{3}{4} = 15\sqrt{7}\)
• Теперь найдем BH: \(\cos A = \frac{AC}{AB}\). Знаем, что \(\sin^2 A + \cos^2 A = 1\), тогда \(\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - (\frac{3}{4})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}\)
• Получается, \(AC = AB \cdot \cos A\), следовательно, \(AC = 80 \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} = 20\sqrt{7}\)
• Используем свойство высоты, проведенной к гипотенузе: \(AC^2 = AH \cdot AB\)
• Выразим AH: \(AH = \frac{AC^2}{AB} = \frac{(20\sqrt{7})^2}{80} = \frac{400 \cdot 7}{80} = \frac{2800}{80} = 35\)

Ответ: 35