Контрольные задания > 14 В правильной треугольной призме ABCА1B1C1 все рёбра равны 6. Точка К – середина ребра А1В1. а) Докажите, что сечение призмы плоскостью АКС является равнобедренной трапецией. б) Найдите расстояние от точки В до плоскости сечения, если все рёбра призмы равны 6.
Вопрос:

14 В правильной треугольной призме ABCА1B1C1 все рёбра равны 6. Точка К – середина ребра А1В1. а) Докажите, что сечение призмы плоскостью АКС является равнобедренной трапецией. б) Найдите расстояние от точки В до плоскости сечения, если все рёбра призмы равны 6.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Краткое пояснение: Доказываем, что сечение является равнобедренной трапецией, и находим расстояние от точки до плоскости.
а) Доказательство:
  1. Рассмотрим призму \(ABCA_1B_1C_1\) с рёбрами, равными 6, и точкой \(K\) — серединой ребра \(A_1B_1\).
  2. Сечение призмы плоскостью \(AKC\).
  3. Так как \(AA_1 \parallel BB_1\), то \(AA_1 \parallel (BCC_1B_1)\), следовательно, плоскость \(AKC\) пересекает плоскости \((AA_1C_1C)\) и \((BB_1C_1C)\) по параллельным прямым \(AC\) и \(CK\).
  4. \(AK
    e CC_1\), следовательно, четырёхугольник \(AKC\) — трапеция.
  5. Рассмотрим проекции \(AK\) и \(CK\) на плоскость \((AA_1B_1B)\).
  6. Проекция \(K\) на плоскость \((AA_1B_1B)\) — точка \(K_0\), являющаяся серединой \(AB\).
  7. \(AK_0 = BK_0\) (медианы равностороннего треугольника \(ABB_1\) равны).
  8. \(AK = CK\), следовательно, трапеция \(AKC\) — равнобедренная.
б) Найдём расстояние от точки \(B\) до плоскости сечения:
  1. Введём систему координат с началом в точке \(A\), ось \(x\) направим вдоль \(AB\), ось \(y\) — перпендикулярно \(AB\) в плоскости \((ABC)\), ось \(z\) — вдоль \(AA_1\).
  2. Координаты точек:
    • \(A(0; 0; 0)\)
    • \(B(6; 0; 0)\)
    • \(C(3; 3\sqrt{3}; 0)\)
    • \(K(3; 0; 6)\)
  3. Векторы:
    • \(\overrightarrow{AK} = (3; 0; 6)\)
    • \(\overrightarrow{AC} = (3; 3\sqrt{3}; 0)\)
  4. Найдём нормаль к плоскости \((AKC)\):
    5. \[\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AK} \times \overrightarrow{AC} = (3; 0; 6) \times (3; 3\sqrt{3}; 0) = (-18\sqrt{3}; 18; 9\sqrt{3})\]
  5. Уравнение плоскости \((AKC)\):
    6. \[-18\sqrt{3}(x - 0) + 18(y - 0) + 9\sqrt{3}(z - 0) = 0\] \[-2\sqrt{3}x + 2y + \sqrt{3}z = 0\]
  6. Расстояние от точки \(B(6; 0; 0)\) до плоскости \((AKC)\):
    7. \[d = \frac{|-2\sqrt{3} \cdot 6 + 2 \cdot 0 + \sqrt{3} \cdot 0|}{\sqrt{(-2\sqrt{3})^2 + 2^2 + (\sqrt{3})^2}} = \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{12 + 4 + 3}} = \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{19}} = \frac{12\sqrt{57}}{19}\]

Ответ: б) \(\frac{12\sqrt{57}}{19}\)

ГДЗ по фото 📸

Похожие