15.1 Решите неравенство \[(\log_{36} x + 1) \left( \frac{1}{\log_{36} x} + 1 \right) \le \log_{36} x.\]

Пусть \(t = \log_{36} x\), тогда неравенство примет вид: \[(t + 1) \left( \frac{1}{t} + 1 \right) \le t\] \[(t + 1) \frac{1+t}{t} \le t\] \[\frac{(t + 1)^2}{t} \le t\] Перенесём всё в одну сторону: \[\frac{(t + 1)^2}{t} - t \le 0\] \[\frac{(t + 1)^2 - t^2}{t} \le 0\] \[\frac{t^2 + 2t + 1 - t^2}{t} \le 0\] \[\frac{2t + 1}{t} \le 0\] Найдём нули числителя и знаменателя: \[2t + 1 = 0 \Rightarrow t = -\frac{1}{2}\] \[t = 0\] Метод интервалов:

        +     -     +
    ----(-1/2)----(0)----
    

Получаем интервалы для \(t\): \[-\frac{1}{2} \le t < 0\] Вернёмся к переменной \(x\): \[-\frac{1}{2} \le \log_{36} x < 0\] \[36^{-\frac{1}{2}} \le x < 36^0\] \[\frac{1}{\sqrt{36}} \le x < 1\] \[\frac{1}{6} \le x < 1\]