Решение задачи по геометрии

Дано: правильная треугольная призма ABCА₁B₁C₁, все ребра которой равны 5, M и N - середины ребер AB и BC соответственно.

Найти: косинус угла между прямыми B₁M и C₁N.

Решение:

1. Введём систему координат.
   Расположим призму в системе координат так, чтобы точка A совпадала с началом координат (0,0,0), ось x была направлена вдоль AB, а плоскость xy совпадала с плоскостью основания ABC. Тогда координаты точек будут следующими:
   • A(0, 0, 0)
   • B(5, 0, 0)
   • C(5/2, (5√3)/2, 0)
   • A₁(0, 0, 5)
   • B₁(5, 0, 5)
   • C₁(5/2, (5√3)/2, 5)
2. Найдем координаты точек M и N.
   M – середина AB, поэтому M((0+5)/2, (0+0)/2, (0+0)/2) = M(5/2, 0, 0).
   N – середина BC, поэтому N((5+5/2)/2, (0+(5√3)/2)/2, (0+0)/2) = N(15/4, (5√3)/4, 0).
   
3. Найдем координаты векторов B₁M и C₁N.
   B₁M = (5/2 - 5, 0 - 0, 0 - 5) = (-5/2, 0, -5).
   C₁N = (15/4 - 5/2, (5√3)/4 - (5√3)/2, 0 - 5) = (5/4, -(5√3)/4, -5).
   
4. Найдем косинус угла между векторами B₁M и C₁N.
   Косинус угла между векторами находится по формуле:
   $$cos(θ) = \frac{B₁M · C₁N}{|B₁M| · |C₁N|}$$ Сначала найдем скалярное произведение B₁M · C₁N:
   B₁M · C₁N = (-5/2)(5/4) + (0)(-(5√3)/4) + (-5)(-5) = -25/8 + 0 + 25 = 175/8.
   Теперь найдем модули векторов:
   |B₁M| = √((-5/2)² + 0² + (-5)²) = √(25/4 + 25) = √(125/4) = (5√5)/2.
   |C₁N| = √((5/4)² + (-(5√3)/4)² + (-5)²) = √(25/16 + 75/16 + 25) = √(100/16 + 25) = √(25/4 + 100/4) = √(125/4) = (5√5)/2.
   Теперь найдем косинус угла:
   $$cos(θ) = \frac{175/8}{((5√5)/2) · ((5√5)/2)} = \frac{175/8}{(25·5)/4} = \frac{175/8}{125/4} = \frac{175}{8} · \frac{4}{125} = \frac{175}{2} · \frac{1}{125} = \frac{35}{2} · \frac{1}{25} = \frac{7}{2} · \frac{1}{5} = \frac{7}{10} = 0.7$$

Ответ: косинус угла между прямыми B₁M и C₁N равен 0.7.