В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 5, а сторона основания равна 3√3. Найдите высоту пирамиды.

Решение:

Правильная треугольная пирамида имеет в основании равносторонний треугольник. Пусть сторона основания равна \( a \) и боковое ребро — \( l \).

Дано:

• \( a = 3\sqrt{3} \)
• \( l = 5 \)

Найти:

• \( H \) — высоту пирамиды

Высота пирамиды \( H \) — это перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на основание. В основании лежит равносторонний треугольник. Высота \( H \), боковое ребро \( l \) и радиус описанной окружности вокруг основания \( R \) образуют прямоугольный треугольник. \( l^2 = H^2 + R^2 \).

1. Найдем радиус описанной окружности \( R \) для равностороннего треугольника со стороной \( a \). Формула: \( R = \frac{a}{\sqrt{3}} \).
2. Подставим значение \( a \): \( R = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 3 \).
3. Теперь найдем высоту \( H \) по теореме Пифагора: \( H^2 = l^2 - R^2 \).
4. \( H^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16 \).
5. \( H = \sqrt{16} = 4 \).

Ответ: 4.