В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD боковое ребро SA равно 5, сторона основания равна 3√2. Найдите объем пирамиды.

Решение:

Правильная четырехугольная пирамида имеет квадрат в основании. Пусть сторона основания равна a, а боковое ребро — l.

Дано:

• \( a = 3\sqrt{2} \)
• \( l = 5 \)

Найти:

• \( V \) — объем пирамиды

Объем пирамиды вычисляется по формуле \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H \), где \( S_{осн} \) — площадь основания, а \( H \) — высота пирамиды.

1. Найдем площадь основания: \( S_{осн} = a^2 = (3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18 \)
2. Найдем апофему пирамиды (высоту боковой грани). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половиной стороны основания, апофемой и боковым ребром. Половина стороны основания равна \( \frac{a}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \). Пусть апофема равна \( h_a \). Тогда по теореме Пифагора: \( h_a^2 = l^2 - (\frac{a}{2})^2 = 5^2 - (\frac{3\sqrt{2}}{2})^2 = 25 - \frac{18}{4} = 25 - 4.5 = 20.5 \)
3. Найдем высоту пирамиды \( H \). Высота пирамиды, апофема и половина стороны основания образуют прямоугольный треугольник. \( H^2 = h_a^2 - (\frac{a}{2})^2 = 20.5 - 4.5 = 16 \)
4. \( H = \sqrt{16} = 4 \)
5. Найдем объем пирамиды: \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 18 \cdot 4 = 6 \cdot 4 = 24 \)

Ответ: 24.