В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F₁ все рёбра равны √5. Найдите расстояние между точками B и E₁.

Рассмотрим правильную шестиугольную призму ABCDEFA1B1C1D1E1F1, где все ребра равны \(\sqrt{5}\). Необходимо найти расстояние между точками B и E1.

Для этого рассмотрим проекцию точки E1 на плоскость основания ABCDEF. Обозначим проекцию E1 как E.

Так как призма правильная, то основание ABCDEF – правильный шестиугольник. Соединим точки B и E. Расстояние BE можно найти, рассмотрев шестиугольник ABCDEF. Из геометрии правильного шестиугольника известно, что BE = \(\sqrt{3}\) * a, где a – сторона шестиугольника.

В данном случае a = \(\sqrt{5}\), следовательно, BE = \(\sqrt{3}\) * \(\sqrt{5}\) = \(\sqrt{15}\).

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BEE1, где EE1 = \(\sqrt{5}\) (боковое ребро призмы), a BE = \(\sqrt{15}\).

По теореме Пифагора, BE1 = \(\sqrt{BE^2 + EE1^2}\) = \(\sqrt{(\sqrt{15})^2 + (\sqrt{5})^2}\) = \(\sqrt{15 + 5}\) = \(\sqrt{20}\) = 2\(\sqrt{5}\).

Ответ: $$2\sqrt{5}$$