19. В погребе хранилось несколько головок сыра. Ночью пришли мышки и съели 4 головки сыра, причём все съели поровну. Следующей ночью пришли не все мышки, а только 11, и доели оставшийся сыр, но каждая мышка съела в два раза меньше сыра, чем накануне. Сколько головок сыра хранилось в погребе? Запишите решение и ответ.

Пусть x - количество мышек в первую ночь, y - количество сыра в одной головке, z - количество головок сыра изначально. В первую ночь мышки съели 4 головки сыра, значит, всего было съедено 4 головки, и каждая мышка съела y сыра, то есть x*y = 4. Во вторую ночь пришли 11 мышек и съели оставшийся сыр, где каждая мышка съела y/2 сыра. Значит, 11*(y/2) = z - 4. Из первого уравнения: y = 4/x. Подставим во второе уравнение: 11 * (4/(2x)) = z - 4 => 22/x = z - 4 => z = 22/x + 4. Так как z - целое число (количество головок сыра), то 22/x должно быть целым числом. Возможные значения x: 1, 2, 11, 22. Если x = 1, то z = 22/1 + 4 = 26. Если x = 2, то z = 22/2 + 4 = 11 + 4 = 15. Если x = 11, то z = 22/11 + 4 = 2 + 4 = 6. Если x = 22, то z = 22/22 + 4 = 1 + 4 = 5. Так как в первую ночь мыши съели 4 головки сыра, то z должно быть больше 4. Все найденные значения z удовлетворяют этому условию. Однако, в условии сказано, что "ночью пришли мышки и съели 4 головки сыра, причём все съели поровну", это значит, что головок было больше 4. И далее сказано "Следующей ночью пришли не все мышки, а только 11". Значит мышек было больше чем 11. Тогда подходит только вариант x = 22 и z = 5. Ответ: 5 головок сыра.