В параллелограмме ABCD со сторонами АВ = 4 и BC = 3 и диагональю АС = 6 диагонали пересекаются в точке О. Найдите длину вектора $$\vec{AO} + \vec{BO}$$.

В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Тогда, $$|\vec{AO}| = \frac{1}{2} |\vec{AC}| = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$$.

По правилу параллелограмма (или треугольника) сложения векторов, вектор $$\vec{AO} + \vec{BO}$$ равен вектору $$\vec{DO}$$.

Следовательно, $$|\vec{DO}| = |\vec{BO}| = \frac{1}{2} |\vec{BD}|$$.

Чтобы найти длину вектора $$\vec{BD}$$, рассмотрим треугольник ABC. Зная все три стороны, можно найти косинус угла BAC по теореме косинусов:

$$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot cos(\angle BAC)$$ $$3^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot cos(\angle BAC)$$ $$9 = 16 + 36 - 48 \cdot cos(\angle BAC)$$ $$48 \cdot cos(\angle BAC) = 43$$ $$cos(\angle BAC) = \frac{43}{48}$$

Теперь рассмотрим треугольник BAD. Угол BAD равен углу, смежному с углом BAC, значит, его косинус равен

$$cos(\angle BAD) = -cos(\angle BAC) = -\frac{43}{48}$$

По теореме косинусов для треугольника BAD:

$$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot cos(\angle BAD)$$ $$BD^2 = 4^2 + 3^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot (-\frac{43}{48})$$ $$BD^2 = 16 + 9 + 24 \cdot \frac{43}{48}$$ $$BD^2 = 25 + \frac{43}{2} = \frac{50+43}{2} = \frac{93}{2} = 46.5$$ $$BD = \sqrt{46.5} $$

Тогда длина вектора $$\vec{DO}$$ равна:

$$|\vec{DO}| = \frac{1}{2} \sqrt{46.5} = \frac{\sqrt{46.5}}{2} \approx 3.41$$

Следовательно, длина вектора $$\vec{AO} + \vec{BO}$$ равна $$\frac{\sqrt{46.5}}{2} \approx 3.41$$.

Ответ: $$\frac{\sqrt{46.5}}{2} \approx 3.41$$