Решение

Для начала, найдем площадь всего параллелограмма $$ABCD$$. Площадь параллелограмма можно найти по формуле:

$$S_{ABCD} = AB \cdot BC \cdot sin(\angle BAD)$$

Подставляем известные значения:

$$S_{ABCD} = 30 \cdot 40 \cdot 0{,}6 = 720$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ABN$$. Так как $$AN : NB = 1 : 2$$, то $$AN = \frac{1}{3} AB$$. Площадь треугольника $$ABN$$ равна:

$$S_{ABN} = \frac{1}{2} \cdot AN \cdot BC \cdot sin(\angle BAD) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} AB \cdot BC \cdot sin(\angle BAD) = \frac{1}{6} \cdot 30 \cdot 40 \cdot 0{,}6 = 120$$

Далее, рассмотрим треугольник $$CDM$$. Так как $$M$$ – середина $$AD$$, то $$DM = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} BC$$. Площадь треугольника $$CDM$$ равна:

$$S_{CDM} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot DM \cdot sin(\angle ADC) = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot \frac{1}{2} BC \cdot sin(\angle BAD) = \frac{1}{4} \cdot 30 \cdot 40 \cdot 0{,}6 = 180$$

Также рассмотрим треугольник $$MCN$$. Площадь параллелограмма $$ABCD$$ можно представить как сумму площадей треугольников $$ABN$$, $$CDM$$, $$MCN$$ и $$MNC$$. Площадь треугольника $$MNC$$ найдем, вычитая из площади параллелограмма площади треугольников $$ABN$$ и $$CDM$$, и треугольника $$BCM$$.

Площадь треугольника $$BCM$$ равна половине площади параллелограмма $$ABCD$$. Так как $$M$$ – середина $$AD$$, то $$AM=MD$$.

$$S_{BCM} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h = \frac{1}{2} S_{ABCD} = 360$$

Площадь треугольника $$MNC$$ можно найти как площадь параллелограмма минус площади треугольников $$ABN$$, $$CDM$$ и $$BCM$$:

$$S_{MNC} = S_{ABCD} - S_{ABN} - S_{CDM} - S_{BCM} = 720 - 120 - 180 - 360 = 60$$

Таким образом, площадь треугольника $$MNC$$ равна 60.

Ответ: 60