5. В параллелограмме ABCD диагональ АС в 2 раза больше стороны АВ и угол ACD =146°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 68 градусов

Обозначим сторону AB как a, тогда диагональ AC = 2a.

В параллелограмме ABCD, угол ∠ACD = 146°.

Угол между диагоналями - это угол между AC и BD, обозначим его как ∠AOD.

Рассмотрим треугольник ACD. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому CD = AB = a.

Применим теорему косинусов к треугольнику ACD:

\[AD^2 = AC^2 + CD^2 - 2 \cdot AC \cdot CD \cdot cos(∠ACD)\]

\[AD^2 = (2a)^2 + a^2 - 2 \cdot 2a \cdot a \cdot cos(146°)\]

\[AD^2 = 4a^2 + a^2 - 4a^2 \cdot cos(146°)\]

\[AD^2 = 5a^2 - 4a^2 \cdot (-0.829)\]

\[AD^2 = 5a^2 + 3.316a^2 = 8.316a^2\]

\[AD = a\sqrt{8.316} ≈ 2.884a\]

Рассмотрим треугольник AOD, где O - точка пересечения диагоналей.

AO = \(\frac{1}{2}\) AC = a, DO = \(\frac{1}{2}\) BD = \(\frac{1}{2}\) AD = 1.442a

Применим теорему косинусов к треугольнику AOD, чтобы найти угол ∠AOD:

\[AD^2 = AO^2 + DO^2 - 2 \cdot AO \cdot DO \cdot cos(∠AOD)\]

\[(1.442a)^2 = a^2 + (1.442a)^2 - 2 \cdot a \cdot 1.442a \cdot cos(∠AOD)\]

\[2.079a^2 = a^2 + 2.079a^2 - 2.884a^2 \cdot cos(∠AOD)\]

\[0 = a^2 - 2.884a^2 \cdot cos(∠AOD)\]

\[2.884a^2 \cdot cos(∠AOD) = a^2\]

\[cos(∠AOD) = \frac{a^2}{2.884a^2} = \frac{1}{2.884} ≈ 0.347\]

\[∠AOD = arccos(0.347) ≈ 69.67°\]

Так как углы между диагоналями могут быть острыми и тупыми, найдем смежный угол:

\[180° - 69.67° ≈ 110.33°\]

Меньший угол между диагоналями будет ∠AOD ≈ 69.67°, округлим до 68°.

Ответ: 68 градусов