В остроугольном треугольнике к двум сторонам с длинами 32 и 24 проведены высоты. Найдите длину высоты, которая проведена к меньшей стороне, если длина другой высоты равна 9.

Пусть (a) и (b) — длины сторон треугольника, а (h_a) и (h_b) — длины высот, проведенных к этим сторонам соответственно. Площадь треугольника можно вычислить двумя способами:

$$S = \frac{1}{2} a h_a = \frac{1}{2} b h_b$$

Из этого следует, что (a h_a = b h_b).

В нашем случае, (a = 32), (b = 24), и (h_a = 9) (высота, проведенная к стороне (a = 32)). Нам нужно найти (h_b) (высоту, проведенную к стороне (b = 24)).

Подставим известные значения в формулу:

$$32 \cdot 9 = 24 \cdot h_b$$

Решим уравнение относительно (h_b):

$$h_b = \frac{32 \cdot 9}{24} = \frac{32 \cdot 3}{8} = 4 \cdot 3 = 12$$

Таким образом, длина высоты, проведенной к меньшей стороне (24), равна 12.

Ответ: 12