В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 4, а гипотенуза равна \(\\sqrt{65}\\). Найдите объём призмы, если её высота равна 4.

Решение:

1. Обозначим катеты прямоугольного треугольника как \(a\) и \(b\), а гипотенузу как \(c\). По условию \(a = 4\) и \(c = \sqrt{65}\).
2. Найдем второй катет \(b\) по теореме Пифагора: \(a^2 + b^2 = c^2\).
3. \(4^2 + b^2 = (\sqrt{65})^2\)
4. \(16 + b^2 = 65\)
5. \(b^2 = 65 - 16 = 49\)
6. \(b = \sqrt{49} = 7\)
7. Площадь основания призмы (S) равна площади прямоугольного треугольника: \( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \)
8. \(S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 7 = 14\)
9. Объём призмы (V) вычисляется по формуле: \( V = S \cdot h \), где \(h\) — высота призмы.
10. \(V = 14 \cdot 4 = 56\)

Ответ: 56