12. В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 8. Боковые ребра равны \frac{5}{\pi}. Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

Для решения задачи необходимо найти радиус основания цилиндра и его высоту.

1. Найдем радиус основания цилиндра. Так как в основании призмы лежит квадрат со стороной 8, то диаметр описанной окружности (и, следовательно, диаметр основания цилиндра) равен диагонали квадрата. Диагональ квадрата можно найти по теореме Пифагора или зная, что диагональ квадрата равна стороне квадрата, умноженной на \(\sqrt{2}\). Следовательно, диаметр равен $$8\sqrt{2}$$, а радиус $$R = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$$.

2. Найдем высоту цилиндра. Высота цилиндра равна высоте призмы, которая, в свою очередь, равна боковому ребру призмы. По условию, боковые ребра равны \(\frac{5}{\pi}\), следовательно, высота цилиндра $$h = \frac{5}{\pi}$$.

3. Найдем объем цилиндра. Объем цилиндра вычисляется по формуле $$V = \pi R^2 h$$. Подставим известные значения:

$$V = \pi \cdot (4\sqrt{2})^2 \cdot \frac{5}{\pi} = \pi \cdot 16 \cdot 2 \cdot \frac{5}{\pi} = 32 \cdot 5 = 160$$

Ответ: 160