3. В окружности с центром O проведены диаметр MN и хорды NF и NK так, что NF = NK (рис. 65). Докажите, что ∠MNK = ∠MNF.

Дано: Окружность с центром O, диаметр MN, хорды NF = NK. Доказать: ∠MNK = ∠MNF. Доказательство: 1. Так как NF = NK, то треугольник NFK - равнобедренный с основанием FK. 2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть ∠NFK = ∠NKF. 3. Угол MNF опирается на диаметр MN, следовательно, он прямой: ∠MNF = 90°. 4. Угол MNK также опирается на диаметр MN, следовательно, он прямой: ∠MKN = 90°. 5. Рассмотрим треугольники MNK и MNF. В них: * MN - общая сторона. * NK = NF (по условию). 6. Теперь докажем равенство углов ∠MNK и ∠MNF. 7. Рассмотрим четырёхугольник MKNF. Сумма его углов 360°. ∠MKF+∠MNF=180. Значит ∠MKNF - вписанный. 8. Если NF = NK, то дуги NF и NK равны, следовательно вписанные углы MNF и MNK тоже равны. 9. ∠MNK = ∠MNF. Что и требовалось доказать.