3. В окружности с центром О проведены диаметр АВ и хорды АС и AD так, что ∠BAC = ∠BAD (рис. 63). Докажите, что АС = AD.

Пусть ∠BAC = ∠BAD = α.

Рассмотрим треугольники ABC и ABD. Угол ACB и угол ADB опираются на диаметр AB, следовательно, они прямые, то есть ∠ACB = ∠ADB = 90°.

Тогда в треугольнике ABC: $$AC = AB * cos(∠BAC) = AB * cos(α)$$

В треугольнике ABD: $$AD = AB * cos(∠BAD) = AB * cos(α)$$

Так как $$AC = AB * cos(α)$$ и $$AD = AB * cos(α)$$, то $$AC = AD$$, что и требовалось доказать.