В окружности проведены две пересекающиеся хорды. Одна из них делится на отрезки 3 см и 12 см, а другая — пополам. Найдите длину второй хорды.

Решение:

Пусть \( AB \) и \( CD \) — две пересекающиеся хорды в точке \( P \).

По условию, одна хорда делится на отрезки \( AP = 3 \) см и \( PB = 12 \) см.

Длина первой хорды равна \( AB = AP + PB = 3 + 12 = 15 \) см.

Вторая хорда \( CD \) делится точкой пересечения \( P \) пополам, то есть \( CP = PD \). Обозначим длину отрезка как \( x \), тогда \( CD = 2x \).

Согласно теореме о пересекающихся хордах, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды:

\( AP \cdot PB = CP \cdot PD \)

Подставим известные значения:

\( 3 \cdot 12 = x \cdot x \)

\( 36 = x^2 \)

\( x = \sqrt{36} = 6 \) см (так как \( x \) — длина, она положительна).

Длина второй хорды \( CD = 2x = 2 \cdot 6 = 12 \) см.

Ответ: 12 см.