2. В окружность радиусом √7 см вписан квадрат, на стороне которого построен равносторонний треугольник. Вычислите радиус и длину окружности, описанную около этого равностороннего треугольника.

Решение:

• Пусть радиус окружности, вписанной в квадрат, равен \[R = \sqrt{7}\, см\].
• Диагональ квадрата равна \[2R = 2\sqrt{7}\, см\].
• Сторона квадрата \[a\] равна \[\frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{2}} = \sqrt{14}\, см\] (так как диагональ квадрата равна \[a\sqrt{2}\]).
• Сторона равностороннего треугольника равна стороне квадрата, то есть \[a = \sqrt{14}\, см\].
• Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен \[\frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{14}{3}}\, см\].
• Длина этой окружности равна \[2\pi R = 2\pi \sqrt{\frac{14}{3}}\, см\].

Ответ: Радиус окружности, описанной около треугольника, равен \(\sqrt{\frac{14}{3}}\) см, длина окружности равна \(2\pi \sqrt{\frac{14}{3}}\) см.