3. Около окружности, радиус которой равен 2 + √5, описан правильный шестиугольник ABCDEF. Вычислите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Решение:

• Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, равен \(r = 2 + \sqrt{5}\).
• Сторона правильного шестиугольника равна \(a = \frac{2r}{\sqrt{3}} = \frac{2(2 + \sqrt{5})}{\sqrt{3}}\).
• Треугольник ABC состоит из двух сторон шестиугольника, то есть его сторона равна \(2a = \frac{4(2 + \sqrt{5})}{\sqrt{3}}\).
• Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен \(r_{ABC} = \frac{1}{2\sqrt{3}} \cdot 2a = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{4(2 + \sqrt{5})}{3}\).

Ответ: Радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, равен \(\frac{4(2 + \sqrt{5})}{3}\).